Moving Average Darstellung Und Impuls Antworten

IMPULS Anweisung erste Periodenschocks (nur bei INPUT-Option) Liste der Purserien (nur bei PATHS-Option) IMPULSE erzeugt die Reaktionen eines Gleichungssystems auf einen bestimmten Satz von Schocks. Die Impulsantwortfunktionen sind die dynamische Antwort jeder endogenen Variablen auf einen Schock für das System. Der Hauptanwendungsbereich von IMPULSE besteht darin, eine gleitende Durchschnittsdarstellung (MAR) einer Vektorautoregression zu erzeugen. IMPULSE kann nur für lineare Modelle arbeiten, da es auf Linearitätseigenschaften von gleitenden mittleren Darstellungen beruht. In einem nicht-linearen System hängen die Reaktionen auf Schocks von dem Anfangspunkt ab, um den Sie expandieren. Die Syntax für IMPULSE hat sich im Laufe der Jahre etwas verändert. Eine IMPULS-Anweisung der Vorversion 7 sieht nun ganz anders aus als die bevorzugte Einrichtung, da sie statt der Optionen und MODELS Parameter und Zusatzkarten verwenden würde. Eine Beschreibung der älteren Syntax finden Sie weiter unten. Im VAR (ForecastAnalyze) Wizard auf dem Zeitreihenmenü wählen Sie Impulsantworten im Dropdown-Menü Aktion. MODELL-Modellname unbenutzt Von den beiden Möglichkeiten, die Form des zu lösenden Modells einzugeben (das andere ist mit Zusatzkarten), ist dies um so bequemer. MODELLE werden normalerweise von GROUP oder SYSTEM erstellt. Es kann keine FRML s (Formeln) enthalten, da IMPULSE verlangt, dass das Modell vollständig linear ist. Wenn das Modell irgendwelche Identitäten enthält, sollten diese im Modell zuletzt sein. Wenn Sie dies verwenden, lassen Sie die Gleichung ergänzende Karten. SCHRITTE Anzahl der Impulsreaktionsschritte zum Berechnen nicht verwendet Dies bestimmt die Anzahl der Schritte (Perioden), für die Sie Antworten berechnen möchten. Wenn Sie eine SMPL eingestellt haben. Dies ist standardmäßig die Anzahl der Schritte impliziert. Ansonsten müssen Sie einen Wert angeben. COLUMN-Komponente zum Erschütterungsschock aller Komponenten Standardmäßig berechnet IMPULSE für jede der Gleichungen einen vollständigen Satz von Antworten für Schocks. Verwenden Sie COLUMN, wenn Sie nur eine bestimmte Spalte der Kovarianz - oder Faktormatrix schocken möchten. CV SYMMETRISCHE Kovarianzmatrix von Residuen aus MODELL FACTOR RECTANGULAR Dekompositionsmatrix unbenutzt Verwenden Sie CV, wenn die Orthogonalisierung mit einer Choleski-Faktorisierung der Kovarianzmatrix berechnet werden soll. Wenn Sie die Option MODEL verwenden und diese Option weglassen, verwendet IMPULSE standardmäßig die geschätzte Kovarianzmatrix für das MODEL. Alternativ können Sie mit FACTOR Ihre eigene Faktorisierung der Kovarianzmatrix, wie zB die Faktormatrix, die von einem CVMODEL-Befehl erzeugt wird, liefern. (Diese Option nennt man DECOMP in den Versionen vor 7. DECOMP wird immer noch als Synonym für FACTOR erkannt.) FACTOR kann eine reduzierte Anzahl von Spalten haben, muss aber Zeilen haben, die der Anzahl der (strukturellen) Gleichungen entsprechen. ERGEBNISSE (Output) RECTANGULARSERIES für die Ergebnisreihe FLATTEN (Output) RECT für die Verwendung mit RESPONSES RESULTS liefert ein RECTANGULAR-Array von SERIES, das mit den Ergebnissen gefüllt wird. Dies wird normalerweise verwendet, wenn Sie die volle gleitende Durchschnittsdarstellung eines VAR erhalten (dh wenn nicht die COLUMN-Option verwendet wird), wenn es die Dimensionen N x N hat. Die Reaktionen auf den Schock in Innovation i werden in der Spalte i liegen Matrix. Wenn Sie Antworten auf einen einzelnen Schock anfordern, hat die Matrix die Dimensionen N x1. Jede erstellte Serie wird von den Einträgen 1 bis zu den Schritten gefüllt. FLATTEN packt die Ergebnisse in eine NVARNSHOCKS-Matrix mit x Schritten in der Form, die für ein Element des RESPONSES-Arrays benötigt wird. WINDOW Titel des Fensters Verwenden Sie NOPRINT, um die Anzeige der Antworten auf das Ausgabefenster oder die Datei zu unterdrücken. Verwenden Sie die Option WINDOW, wenn Sie die Ausgabe in einem (schreibgeschützten) Kalkulationstabellenfenster anzeigen möchten, das den gewünschten Titel enthält. Die Ausgabe wird als separate Untertabellen für jede Variable, die schockiert ist, organisiert. Sie können Informationen aus diesem Fenster in eine Datei in einer Vielzahl von Formaten mit dem FileExport exportieren. Betrieb. LABELS VECTORSTRINGS zum Etikettieren von Schocks Sie können die LABELS-Option verwenden, um den Schocks bestimmte Beschriftungen zuzuweisen, wenn die übliche Praxis, sie mit der entsprechenden abhängigen Variablen zu kennzeichnen, irreführend wäre. Dies ist nur dann von Bedeutung, wenn Sie die FACTOR-Option verwenden. SHOCKS VECTOR für erste Periodenschocks, um unbenutzt hinzuzufügen Sie können eine dieser Optionen verwenden, um allgemeine erste Periodenschocks einzugeben. Mit INPUT. Liefern Sie die Schocks auf eine Zusatzkarte des zweiten Formulars mit SHOCKS. Der angegebene VECTOR stellt die Stöße zur Verfügung. Siehe Technische Daten. MATRIX RECTANGULAR-Matrix für Zeitpfade von Schocks unbenutzt START-Starteintrag für PATHS-Serie 1 Sie können MATRIX oder PATHS verwenden, um die Pfade von Schocks über mehr als eine Periode einzugeben. Mit MATRIX. Richten Sie ein RECTANGULAR-Array ein, um die Pfade der Schocks zu den Gleichungen bereitzustellen. Die Spalten des Arrays sollten der Reihenfolge der Gleichungen entsprechen, dh die Stöße der ersten Gleichung sollten in der ersten Spalte liegen. Die Anzahl der Zeilen muss nicht den Schritten entsprechen. Die Stöße werden für alle Schritte jenseits der vom Array gelieferten Stufen auf Null gesetzt. Mit PATHS. Sie liefern eine Serienliste auf einer Zusatzkarte. Diese Reihen stellen die Pfade der Stöße zur Verfügung. Sie müssen diese Reihen für Schritteinträge definieren, die mit dem Eintrag START beginnen. Verwenden Sie auf der Zusatzkarte für jede Gleichung, deren Stöße für den gesamten Zeitraum null sein sollen. Technische Details und Möglichkeiten zur Bereitstellung von Schocks In der gleitenden Durchschnittsdarstellung ist die Antwort bei tk auf einen anfänglichen Schock z im u-Prozess Y k z. Zum Beispiel ist die Antwort bei Schritt k auf einen Einheitsstoß in Gleichung i bei t0 nur die i-te Spalte der Y k-Matrix. IMPULSE erlaubt dem Schock, das System zu nehmen, eine von mehreren Formen: Erster Periodenschock, der ein Einheitsschock für eine orthogonalisierte Innovation des Prozesses ist. Wenn Var (u) S FF. Dann u Fv wobei Var (v) I. Ein Schock der Einheitsgrße zur i-ten Komponente von v ist ein z-Vektor, der die i-te Spalte von F ist. Implementiere durch Einstellen von COLUMN auf die Komponente, die du schockiert hast. F ist standardmäßig ein Choleski-Faktor, also verwenden Sie die FACTOR-Option, wenn Sie eine andere Faktormatrix wünschen. Allgemeine erste Periodenschocks (z-Vektor). Implementieren Sie entweder die Option SHOCKS (bevorzugt) oder die Option INPUT (einschließlich einer zusätzlichen Zusatzkarte mit den Schocks). Pfade von Schocks zu einer oder mehreren Gleichungen. Implementieren Sie entweder die Option PATHS (einschließlich einer zusätzlichen Zusatzkarte, die die Serie von Schocks enthält) oder die Option MATRIX. Diese Beispiele verwenden eine sechs Variable VAR (die eine aus dem Beispielprogramm IMPULSES. RPF). Der Zinssatz ist die dritte Variable im System, die in mehreren der Beispiele verwendet wird. Berechnet zwanzig Schritte der Impulsantworten für alle orthogonalisierten Schocks zu den Gleichungen in CANMODEL. IMPULSES (i, j) ist eine Reihe, die von den Einträgen 1 bis 20 definiert ist und die Antwort der i-ten abhängigen Variablen auf einen Schock im j-ten Wert hat. Impuls (modelcanmodel, steps24, col3, windowShock to Rate) schockiert die dritte orthogonalisierte Komponente (den Ratenschock) und setzt 24-Schritt-Antworten auf ein Fenster. Führt zu einem Fenster eine 20-stufige Antwort auf jede der Komponenten in einem orthogonalisierten System. Die Stöße werden mit f1 bezeichnet. F2. R1. R2. N1 und n2. Berechnet die Reaktion auf einen Einheitsschock im Zins allein (keine orthogonalisierte Komponente). Die Auswirkungen auf den Zinssatz betragen anfänglich 1,0, während alle anderen Variablen einen Schlagschock von 0 haben werden. TORATE (i, 1) ist die Antwort der Variable i auf den Schock. Beachten Sie, dass Sie sehr vorsichtig sein müssen mit der Skalierung von Schocks wie diese. Ein Einheitsschock für eine Variable in Protokollen bedeutet eine Auswirkung wie die Multiplikation der Daten mit 2.718. Einheitsstöße in orthogonalisierten Komponenten wie in den vorherigen Beispielen passen alle automatisch auf die Skala der Variablen an. Set shockr 1 3 1,00 set shockr 4 10 0,00 gibt Schocks der Größe 1,00 auf den Zinssatz in jedem der ersten drei (von zehn) Perioden. Impulsantwort und Faltung Digitale Signalverarbeitung ist (meist) angewandte lineare Algebra. (Nur bei Option PATH) Impulsantwort und Faltung Digitale Signalverarbeitung ist (meist) angewandte lineare Algebra . Die Relevanz der Matrixmultiplikation erwies sich als leicht zu erfassen für die Farbabstimmung. Wir hatten feste Abmessungen von 1 (Anzahl der Prüflampen), 3 (Anzahl der Primärlichter, Anzahl der Photopigmente) und 31 (Anzahl der Probenpunkte in einer spektralen Leistungsverteilung für ein Licht oder in der spektralen Absorption für ein Pigment) Und es stellte sich heraus, dass einige wichtige Fakten über das Farbsehen als Projektion der höherdimensionalen Spektralvektoren in einen niedrigdimensionalen psychologischen Teilraum modelliert werden können. Es ist auch leicht zu sehen, wie diese Idee funktioniert, wenn die Modellierung einer Beziehung zwischen unabhängigen Variablen (wie experimentelle Bedingungen) und abhängigen Variablen (wie Thema Antworten), oder wenn versucht wurden, zu klassifizieren Sätze von multivariaten Messungen (wie Formant-Werte). Aber was bedeutet es, Audio - oder Videosignale als Matrixmultiplikation zu interpretieren? Und warum sollten wir einen einfachen Fall betrachten wollen. Der CD-Standard tastet eine Audio-Wellenform 44.100 mal pro Sekunde ab, so dass ein 2:48 enthaltenes Stück 7.408.800 Samples enthält (ignoriert das Stereo-Problem). Angenommen, wir wollen die relative Lautstärke von tiefen, mittleren und hohen Frequenzen einstellen, um Raumakustik, unser Lautsprechersystem oder unseren persönlichen Geschmack auszugleichen. Die 7,408,800 Abtastwerte sind Elemente eines Vektors. Jede Ausgleichsfunktion (wie später später gezeigt) ist linear und jede lineare Transformation ist äquivalent zu einer Matrixmultiplikation, so daß wir ihre Wirkung auf einen Kanal unseres Musikstückes als Multiplikation mit einem 7.408.800 durch modellieren können 7.408.800 Matrix. Alles, was wir tun müssen, ist, unseren 7,408,800-Element-Spaltenvektor durch diese Matrix zu multiplizieren, wodurch ein weiterer Spaltenvektor mit der gleichen Anzahl von Elementen erzeugt wird - und dies ist unser entzerrtes Bit von Audio. Wenn wir mit einer halbstündigen Aufzeichnung arbeiten wollten, würde der Umfang der Operation proportional steigen. Das scheint nicht wie eine sehr praktische Technik. Es ist begrifflich richtig, und manchmal kann es sinnvoll sein, auf diese Weise zu denken. Dies ist jedoch (unnötig zu erwähnen) nicht, wie eine DSP-Implementierung eines Equalizers durchgeführt wird. Es gibt viel einfachere Wege, die mathematisch äquivalent für Systeme mit bestimmten Eigenschaften sind, deren Matrizen entsprechende Eigenschaften haben, die eine einfache und effiziente Implementierung der äquivalenten Berechnung erlauben. Dieses Thema kann auf einen Slogan reduziert werden: Der Effekt eines linearen, schichtinvarianten Systems auf ein beliebiges Eingangssignal wird durch Falten des Eingangssignals mit der Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls erhalten. Um eine Vorstellung davon zu erhalten, was dies gut sein könnte, sollten Sie einige Dinge in der realen Welt betrachten, die (oder zumindest erfolgreich als modelliert werden können) lineare schichtinvariante Systeme: Sobald Sie die Terminologie in diesem Slogan verstehen, wird es fast sein Sofort offensichtlich, dass seine wahre so in gewissem Sinne dieser Vorlesung ist vor allem eine Frage des Lernens einige Definitionen Wir wissen bereits, was ein lineares System ist. Ein schichtinvariantes System ist eines, bei dem das Verschieben des Eingangs den Ausgang immer um denselben Betrag verschiebt. Wenn die Signale durch Vektoren repräsentiert wurden, bedeutet eine Verschiebung eine konstante ganze Zahl, die allen Indizes hinzugefügt wurde. Somit erzeugt der Verschiebungsvektor v durch n Abtastwerte einen Vektor w mit w (in) v (i). Hinweis: es gibt ein kleines Problem hier ist entschieden, was passiert an den Kanten. Somit sollte für eine positive Verschiebung n das erste Element von w dem Minus-n-ten Element von v entsprechen, aber v ist nicht für Indizes definiert, die kleiner als 1 sind (oder Null, wenn wir beschließen, dort zu starten). Theres ein ähnliches Problem am anderen Ende. Konventionelle DSP-Mathematik löst dieses Problem durch die Behandlung von Signalen als mit unendlichem Umfang - definiert für alle Indizes von minus unendlich bis unendlich. Real-World-Signale in der Regel starten und stoppen jedoch. Dies ist eine Frage, die auf mehrere Male zurückkehrt, so auch einmal am Ende dieser Vorlesung, wenn sie in der EEDSP-Perspektive und in der linearen Algebra-Perspektive einen etwas formelleren Bericht liefern. Für Signale, die Funktionen der Zeit sind, d. H. Wo die Folge von Indizes einer Folge von Zeitpunkten entspricht, kann ein schichtinvariantes System äquivalent als ein zeitinvariantes System bezeichnet werden. Hier hat die Eigenschaft der Verschiebungsinvarianz eine besonders intuitive Bedeutung. Angenommen, wir analysieren einen akustischen Resonator mit einem bestimmten Eingang um 12:00 Uhr am 25. Januar 1999 und erhalten eine Antwort (was auch immer es ist), die wir aufnehmen. Anschließend analysieren wir am 26. Januar 1999 um 12:00 Uhr das gleiche System mit demselben Eingang. Wir erwarten, dasselbe Output aufzuzeichnen - nur um 24 Stunden nach vorne versetzt. Die gleiche Erwartung gilt für eine Zeitdifferenz von Eine Stunde oder eine Minute. Schließlich, wenn wir die Eingabe um 1 Millisekunde hypothetisch verzögern, erwarten wir, dass der Ausgang um den gleichen Betrag verzögert wird - und ansonsten unverändert Der Resonator weiß nicht, wie spät es ist und antwortet auf die gleiche Weise, unabhängig davon, wann er ist Untersucht. Ein Einheitsimpuls (für gegenwärtige Zwecke) ist nur ein Vektor, dessen erstes Element 1 ist und dessen sämtliche andere Elemente 0 sind. (Für die digitalen Ingenieursignale unendlich ist der Einheitsimpuls 1 für den Index 0 und 0 für alle Andere Indizes, von minus unendlich bis unendlich). Nun arbeiten, bis zu welcher Faltung ist, indem sie ein einfaches Beispiel. Hier ist ein Graph von 50 Samples (etwa 6 Millisekunden) einer Sprachwellenform. Wurden diese Wellenform als eine Folge von Zahlen repräsentiert - ein Vektor - und aus dieser Perspektive eine besser geeignete grafische Darstellung der gleichen Daten ist ein Lutscher-Diagramm, das uns zeigt, jede Probe als ein wenig Lutscher oben oder unten aus einer Nulllinie : Lass uns nur die ersten sechs dieser Zahlen heranzoomen: Matlab wird uns ihre spezifischen Werte erzählen: Wir können diesen Sechs-Element-Vektor s als die Summe von sechs anderen Vektoren s1 bis s6 denken. Von denen jeder nur einen seiner Werte trägt, wobei alle anderen Werte Null sind: Es sei daran erinnert, daß ein Impuls (im gegenwärtigen Kontext ohnehin) ein Vektor ist, dessen erstes Element den Wert 1 hat und dessen nachfolgende Elemente null sind. Der Vektor sve, der s1 genannt wird, ist ein Impuls multipliziert mit 10622. Der Vektor s2 ist ein Impuls, der nach rechts um ein Element verschoben und mit 5624 skaliert ist. Somit zerlegen wir s in einen Satz skalierter und verschobener Impulse. Es ist klar, dass wir dies zu einem beliebigen Vektor tun können. Die gleiche Zerlegung grafisch dargestellt: Warum ist dies interessant Nun, betrachten Sie einige willkürliche Schicht-invariante lineare System D. Angenommen, wir wenden D (ohne etwas davon zu wissen) auf einen Impuls an, wobei das Ergebnis unten gezeigt wird: Der erste Abtastwert des Ausgangssignals ist 1, der zweite Abtastwert -1 und der Rest der Abtastwerte 0. Dieses Ergebnis Ist die Impulsantwort von D. Dies reicht aus, um das Ergebnis der Anwendung von D auf unsere skalierten und verschobenen Impulse, s 1. s n, vorherzusagen. Da D schichtinvariant ist. Die Wirkung der Verschiebung der Eingabe ist nur um den Ausgang um den gleichen Betrag verschieben. Somit erzeugt eine Eingabe, die aus einem Einheitsimpuls besteht, der um jeden beliebigen Betrag verschoben ist, eine Kopie der Impulsantwort. Um denselben Betrag verschoben. Wir wissen auch, daß D linear ist. Und daher erzeugt ein skalierter Impuls als Eingabe eine skalierte Kopie der Impulsantwort als Ausgabe. Unter Verwendung dieser beiden Tatsachen können wir die Reaktion von D auf jeden der skalierten und verschobenen Impulse s 1 s n vorhersagen. Dies wird grafisch unten dargestellt: Wenn wir die Antworten auf s1 anordnen. S6 als die Zeilen der Matrix, die tatsächlichen Zahlen werden wie folgt aussehen: (Die Anordnung dieser Ausgänge als die Zeilen einer Matrix ist rein für typografische Bequemlichkeit auch bemerken, dass weve ermöglichen die Antwort auf Eingang s6 fallen aus dem Ende der Welt Sozusagen) Diese Information wiederum genügt, um die Reaktion des Systems D auf den ursprünglichen Vektor s vorauszusagen. (Durch Konstruktion) nur die Summe von s1 s2 s3 s4 s5 s6 ist. Da D linear ist, ist die Anwendung auf diese Summe dieselbe wie die Anwendung auf die einzelnen Komponenten der Summe und die Addition der Ergebnisse. Dies ist nur die Summe der Spalten der oben gezeigten Matrix: (Matlab sum, angewandt auf eine Matrix, erzeugt einen Zeilenvektor der Summen der Spalten.) Beachten Sie, dass (zumindest für die zweite Position in der Summe und weiter) Dies macht den Ausgang in der Position i gleich der Differenz zwischen dem Eingang in Position i und dem Eingang in Position i-1. Mit anderen Worten, D geschieht, die erste Differenz seiner Eingabe zu berechnen. Es sollte klar sein, dass dieselbe grundlegende Prozedur für jedes schichtinvariante lineare System und für eine beliebige Eingabe in ein solches System funktionieren wird: die Eingabe als eine Summe von skalierten und verschobenen Impulsen auszudrücken, die die Reaktion auf jede von diesen durch Skalierung und Verschiebung berechnen Die Systemimpulsantwort addiert den resultierenden Satz von skalierten und verschobenen Impulsantworten. Dieser Vorgang der Addition eines Satzes von skalierten und verschobenen Kopien eines Vektors (hier der Impulsantwort), unter Verwendung der Werte eines anderen Vektors (hier der Eingang) als Skalierungswerte, ist Faltung - zumindest ist dies eine Art zu definieren es. Eine andere Möglichkeit: Die Faltung von zwei Vektoren a und b ist als Vektor c definiert. Deren k-te Element ist (in MATLAB-isch-Terme) (Die 1 in k1-j ist darauf zurückzuführen, dass MATLAB-Indizes den schlechten Geschmack von 1 anstelle der mathematisch eleganteren 0 beginnen). Diese Formulierung trägt dazu bei, daß wir auch an die Faltung denken können als einen Vorgang, bei dem ein laufendes gewichtetes Mittel einer Sequenz genommen wird, dh jedes Element des Ausgangsvektors ist eine lineare Kombination von einigen der Elemente eines der Eingangsvektoren, - wobei die Gewichte von dem anderen Eingangsvektor genommen werden. Es gibt ein paar kleine Probleme: wie lange sollte c sein und was sollten wir tun, wenn k 1- j negativ oder größer als die Länge von b ist. Diese Probleme sind eine Version der Kanteneffekte weve bereits angedeutet, und wird wieder sehen. Eine mögliche Lösung besteht darin, sich vorzustellen, daß wir zwei unendliche Folgen zusammenfassen, die durch Einbettung von a und b in einen Ozean von Nullen entstehen. Nun willkürliche Indexwerte --- negative, diejenigen, die zu groß schienen - machen vollkommenen Sinn. Der Wert für erweiterte a und erweiterte b für Indexwerte außerhalb ihres tatsächlichen Bereichs ist nun perfekt definiert: immer Null. Das Ergebnis von Gleichung 1 wird eine weitere unendlich lange Folge c sein. Ein kleiner Gedanke wird Sie davon überzeugen, dass der Großteil von c auch notwendigerweise Null sein wird, da die Gewichte von b und die Nicht-Null-Elemente von a nicht in diesen Fällen übereinstimmen. Wie viele Elemente von c haben eine Chance, ungleich null zu sein. Nun, nur jene ganzen Zahlen k, für die es mindestens eine ganze Zahl j gibt, so dass 1 lt j lt Länge (a) und 1 lt k1-j lt Länge (b). Mit ein wenig mehr Gedanken, können Sie sehen, dass dies bedeutet, dass die Länge von c wird ein kleiner als die Summe der Längen von a und b. Unter erneuter Bezugnahme auf die Gleichung 1 und die Vorstellung, daß die beiden Vektoren a und b in ihren Meeren der Nullen eingebettet sind, sehen wir, daß wir die richtige Antwort erhalten, wenn wir zulassen, daß k von 1 bis Länge (a) 1, und für jeden Wert von k. Erlauben Sie j, von max (1, k 1-Länge (b)) zu min (k, Länge (a)) zu laufen. Auch hier ist alles in MATLAB-Indexbegriffen, und so können wir es direkt an ein MATLAB-Programm myconv () weiterleiten, um die Faltung durchzuführen: Dies gibt uns nur das Stück des begrifflich unendlichen c, das eine Chance hat, von Null verschieden zu sein . MATLAB hat eine eingebaute Faltungsfunktion conv (), so dass wir die, die wir gerade geschrieben haben, vergleichen können: Abgesehen davon sollten wir erwähnen, dass die Konvolution auch die richtigen Ergebnisse liefern wird, wenn man an a, b und c denkt Koeffizienten von Polynomen, wobei c die Koeffizienten des Polynoms sind, die sich aus der Multiplikation von a und b ergeben. Somit ist die Faltung isomorph zur polynomischen Multiplikation, so daß z. B. (2x 3) (4x 5) 8x2 22x 15 und kann auch so interpretiert werden, dass (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Wenn Sie dies glauben, folgt unmittelbar aus der Kommutativität Von der Multiplikation, die Faltung auch pendelt (und assoziativ ist, und verteilt über Addition). Wir können diese Eigenschaften empirisch exemplifizieren: Das sind wichtige Punkte, wenn Sie also nicht sofort sehen, dass sie immer wahr sind, verbringen Sie etwas Zeit mit Gleichung 1 - oder mit dem Faltungsoperator in Matlab - und überzeugen Sie sich. Weve gegeben zwei Bilder von conv (a, b): in einem, addieren wir eine Reihe von skalierten und verschobenen Kopien von a, jede Kopie skaliert um einen Wert von b und verschoben, um mit der Position dieses Wertes in b auszurichten . In der anderen verwenden wir einen laufenden gewichteten Durchschnitt von a, wobei b (rückwärts) als die Gewichte. Wir können die Beziehung zwischen diesen beiden Bildern sehen, indem wir Gleichung 1 in Matrixform ausdrücken. Wir haben von b als Impulsantwort des Systems, a als Eingang und c als Ausgang gedacht. Dies bedeutet, dass die Matrix für S die Länge (c) nach der Länge (a) haben wird, wenn c S a eine legale Matrix ist. Jedes Element des Ausgangs c ist das innere Produkt einer Reihe von S mit dem Eingang a. Dies ist genau Gleichung 1, wenn die Reihe von S in Frage ist nur b. Zeitversetzt, verschoben und geeigneterweise mit Nullen aufgefüllt. Wenn b aus dem Bild verschiebt, verschieben wir nur Nullen aus dem Meer von Nullen, die wir uns vorstellen, darin zu schweben. Eine kleine Modifikation unseres Faltungsprogramms erzeugt die benötigte Matrix: Somit bildet cmat (a, b) einen Matrixoperator C, die mit dem Vektor a multipliziert werden können, um genau denselben Effekt wie die Faltung von a mit b zu erzeugen: Dies funktioniert, weil die Zeilen von C in geeigneter Weise verschoben (rückwärts laufende) Kopien von b oder äquivalent sind, weil die Spalten von C Sind geeignet verschobene (vorwärtslaufende) Kopien von b. Dies gibt uns die beiden Bilder von Faltungsoperatoren: DAS LAUFENDE GEWICHTTE DURCHSCHNITT DES EINGANGS: Die Zeilen von C werden rückwärts Kopien von b verschoben. Und das innere Produkt jeder Reihe mit einem Willen gibt uns einen gewichteten Durchschnitt eines geeigneten Stückes von a. Die wir an der entsprechenden Stelle im Ausgang c halten. Die Summe der skalierten und verschobenen KOPIEN DER IMPULS-ANTWORT: Die Spalten von C sind verschobene Kopien von b. Die andere Ansicht der Matrixmultiplikation, nämlich daß die Ausgabe die Summe der Spalten von C ist, die durch die Elemente von a gewichtet werden. Gibt uns das andere Bild der Faltung, nämlich das Addieren eines Satzes von skalierten und verschobenen Kopien der Impulsantwort b. Ein größeres Beispiel: Beim Durcharbeiten der Faltungsdetails mußten wir den Randeffekt bewältigen: Die Tatsache, daß die Faltungsgleichung (Gleichung 1) Indexwerte für endliche Längeneingaben a und b außerhalb des Bereichs, in dem sie definiert sind, impliziert . Offensichtlich könnten wir eine ganze Reihe von Möglichkeiten wählen, um die fehlenden Werte zu liefern - die besondere Wahl, die wir machen sollten, hängt davon ab, was wir tun. Es gibt einige Fälle, in denen das Meer von Nullen Konzept ist genau richtig. Allerdings gibt es alternative Situationen, in denen andere Ideen mehr Sinn machen. Zum Beispiel könnten wir an b denken, wie in einem Meer von unendlich vielen wiederholten Kopien von sich sitzen. Da dies bedeutet, dass die Indexwerte ab dem Ende von b auf das andere Ende in modulärer Weise umlaufen, genau wie wenn b auf einem Kreis war, wird die resultierende Faltungsform als Kreisfaltung bezeichnet. Denken Sie daran: Wir werden in einem späteren Vortrag darauf zurückkommen. Unterdessen wiederholen wir den Slogan, den wir begannen: Der Effekt eines linearen, schiebeinvarianten Systems auf ein beliebiges Eingangssignal wird durch Falten des Eingangssignals mit der Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls erhalten. (Beachten Sie, dass dies die gleiche Eigenschaft von linearen Systemen ist, die wir im Fall der Farbabstimmung beobachteten - wo wir alles, was wir über das System wissen sollten, indem wir es mit einem begrenzten Satz monochromatischer Eingaben untersuchten, lernen konnten Linear und nicht schichtinvariant, wäre die Analogie hier, daß sie mit Einheitsimpulsen bei jedem möglichen Indexwert abgetastet wird - jede solche Sonde gibt uns eine Spalte der Systemmatrix, was bei einem 31-Element-Vektor praktisch war, aber es Mit Vektoren von Millionen oder Milliarden von Elementen weniger attraktiv wäre. Wenn das System aber auch schichtinvariant ist, reicht eine Sonde mit nur einem Impuls aus, da die Reaktionen aller verschobenen Fälle davon vorhergesagt werden können.) Faltung kann immer erfolgen Als Matrixmultiplikation betrachtet werden - das muss wahr sein, denn ein durch Faltung realisierbares System ist ein lineares System (sowie schichtinvariant). Shift-Invarianz bedeutet, dass die Systemmatrix jedoch besondere Redundanzen aufweist. Wenn die Impulsantwort von endlicher Dauer ist, ist dieser Slogan nicht nur mathematisch wahr, sondern ist auch oft eine praktische Möglichkeit, das System zu implementieren, da wir die Faltung in einer festen Anzahl von Multiplikations-Adds pro Eingangsprobe implementieren können Viele, da es Werte ungleich Null in der Systemimpulsantwort gibt). Systeme dieses Typs werden im allgemeinen als endliche Impulsantwortfilter (FIR-Filter) oder äquivalent gleitende Durchschnittsfilter bezeichnet. Wenn die Impulsantwort von unendlicher Dauer ist (da sie sich gut in einem linearen schichtinvarianten System befinden kann), bleibt dieser Slogan mathematisch wahr, ist aber von weniger praktischem Wert (es sei denn, die Impulsantwort kann ohne signifikante Wirkung abgeschnitten werden). Nun lernen Sie später, wie IIR-Filter effizient implementieren. Die EEDSP-Perspektive. Das Ziel dieses Abschnitts ist es, das Grundmaterial über Impulsantwort und Faltung im Stil zu entwickeln, der in der digitalen Signalverarbeitungs-Literatur in der Disziplin der Elektrotechnik üblich ist, um Ihnen zu helfen, sich mit der Art der Notation vertraut zu machen, die Sie sind Wahrscheinlich dort zu begegnen. Auch, vielleicht gehen über die gleichen Ideen wieder in einer anderen Notation wird Ihnen helfen, thm zu assimilieren - aber vorsichtig sein, um die DSPEE-Notation in Ihrem Geist von linearen Algebra-Notation zu halten, oder Sie werden sehr verwirrt In dieser Perspektive behandeln wir Ein digitales Signal s als eine unendlich lange Sequenz von Zahlen. Wir können die mathematische Fiktion der Unendlichkeit an die alltägliche endliche Realität anpassen, indem wir annehmen, daß alle Signalwerte außerhalb irgendeiner endlichen Längenuntersequenz Null sind. Die Positionen in einer dieser unendlich langen Zahlenfolgen werden durch ganze Zahlen indiziert, so daß s (n) die n-te Zahl in der Folge s bedeutet, die gewöhnlich s kurz als n bezeichnet wird. Manchmal verwenden wir alternativ s (n), um sich auf die gesamte Folge s zu beziehen. Indem man an n als freie Variable denkt. Wir lassen einen Index wie n Bereich über negative sowie positive ganze Zahlen, und auch Null. Also, wo die geschweiften Klammern sind eine Notation Sinne gesetzt, so dass der ganze Ausdruck bedeutet die Menge der Zahlen s (n), wobei n nimmt alle Werte von minus unendlich bis unendlich. Wir verweisen auf die einzelnen Zahlen in einer Sequenz s als Elemente oder Proben. Die Wortprobe ergibt sich aus der Tatsache, dass wir in der Regel diese Sequenzen als diskret abgetastete Versionen von kontinuierlichen Funktionen, wie das Ergebnis der Abtastung einer akustischen Wellenform einige endliche Anzahl von Mal pro Sekunde, aber in der Tat nichts, was in diesem Abschnitt vorgestellt wird Hängt davon ab, dass eine Folge nichts anderes als ein geordneter Satz von Zahlen ist. Die Einheit Impuls oder Einheit Probensequenz. Geschrieben, ist eine Sequenz, die eine am Abtastpunkt Null ist, und Null überall sonst: Die griechische Hauptstadt Sigma,, ausgesprochen Summe. Wird als Notation zum Aufsummieren eines Satzes von Zahlen verwendet, typischerweise durch eine gewisse Variable, die einen bestimmten Satz von Werten annimmt. So ist Kurzschrift für ist Kurzschrift für Die Notation ist besonders hilfreich im Umgang mit Summen über Sequenzen. Im Sinne der in diesem Abschnitt verwendeten Sequenz, wie im folgenden einfachen Beispiel. Die Einheit Schrittfolge. (N) ist eine Sequenz, die an allen Abtastpunkten kleiner als Null und an allen Abtastpunkten größer als oder gleich Null ist. Die Einheitsschrittfolge kann auch als kumulative Summe des Einheitsimpulses erhalten werden: Bis zu n -1 beträgt die Summe 0, da alle Werte von für negatives n 0 bei n 0 sind, die kumulative Summe springt auf 1, da und die kumulative Summe bei allen Werten von n größer als 1 bleibt. Da alle übrigen Werte von 0 wieder 0 sind. Dies ist kein besonders eindrucksvoller Gebrauch der Notation, aber es sollte Ihnen helfen zu verstehen, dass es vollkommen sinnvoll sein kann, über unendliche Summen zu sprechen. Beachten Sie, dass wir auch die Beziehung zwischen u (n) und in die andere Richtung ausdrücken können: Im Allgemeinen ist es sinnvoll, über die Anwendung der gewöhnlichen Operationen der Arithmetik auf Sequenzen zu sprechen. Somit können wir das Produkt der Folgen x und y als xy schreiben. Dh die Folge der Produkte der entsprechenden Elemente (nicht das innere Produkt): Ebenso kann die Summe der Folgen x und y xy geschrieben werden. Bedeutung Eine Folge x kann mit einem Skalar multipliziert werden mit der Bedeutung, dass jedes Element von x einzeln so multipliziert wird: Schließlich kann eine Sequenz um eine ganze Zahl von Abtastpunkten verschoben werden: Wir haben diese Schreibweise bereits verwendet, als wir den Einheitsimpuls ausdrückten Sequenz in Form der Einheitsschrittsequenz als die Differenz zwischen einer gegebenen Probe und der unmittelbar vorhergehenden Probe. Jede Sequenz kann als Summe aus skalierten und verschobenen Einheitsproben ausgedrückt werden. Konzeptionell ist dies trivial: Wir machen für jede Probe der ursprünglichen Sequenz eine neue Sequenz, deren einziges Nicht-Null-Mitglied das ausgewählte Sample ist, und wir addieren alle diese Single-Sample-Sequenzen, um die ursprüngliche Sequenz zu bilden. Jede dieser Single-Sample-Sequenzen (wirklich jede Sequenz enthält unendlich viele Samples, aber nur eine davon ist ungleich Null) kann wiederum als Einheitsimpuls (eine Probe des Wertes 1, die sich am Punkt befindet) durch die entsprechenden skaliert dargestellt werden Wert und verschoben an die entsprechende Stelle. In der mathematischen Sprache ist k eine Variable, die jede der Originalproben entnimmt, ihren Wert verwendet, um den Einheitsimpuls zu skalieren, und verschiebt dann das Ergebnis in die Position des ausgewählten Musters. Ein System oder Transformation T bildet eine Eingangsfolge x (n) auf eine Ausgangsfolge y (n): 1 ab. Motivierendes Beispiel Wenn Sie die aktuelle Inflationsrate des Quartals8217s zurückrechnen, erhalten Sie für die vorherige Quartalsperiode mit FRED im Zeitraum von Q3-1987 bis Q4-2014 die AR (1) Punktschätzung, wobei die Zahl in Klammern angegeben ist Der Standardfehler und die Inflationsrate-Zeitreihen, wurde erniedrigt. Mit anderen Worten, wenn die Inflationsrate in Q1-2015 Punkte höher ist, dann im Durchschnitt sind es Punkte höher in Q2-2015, Punkte höher in Q3-2015 und so weiter8230 Die Funktion, die die Kaskade der zukünftigen Inflationsrate beschreibt Änderungen aufgrund eines unerwarteten Schocks in der Periode als die Impulsantwort-Funktion bekannt ist. Aber viele interessante Zeitreihenerscheinungen umfassen mehrere Variablen. Zum Beispiel, Brunnermeier und Julliard (2008) zeigen, dass der Hauspreis schätzen Rate, ist umgekehrt im Zusammenhang mit der Inflationsrate. Wenn Sie die aktuellen Inflationsraten des Quartals8217 und die Hauspreis-Aufwertungsraten auf die vorherigen Quartalsquartalszinsen unter Verwendung von demeanierten Daten aus dem Case-ShillerS038P-Index rückgängig machen. then you get: These point estimates indicate that, if the inflation rate were points higher in Q1-2015, then the inflation rate would be points higher in Q2-2015 and the house-price appreciation rate would be points lower in Q2-2015. Computing the impulse-response function for this vector auto-regression (VAR) is more difficult than computing the same function for the inflation-rate AR(1) because the inflation rate and house-price appreciation rate shocks are correlated: In other words, when you see a point shock to inflation, you also tend to see a point shock to the house-price appreciation rate. Thus, computing the future effects of a shock to the inflation rate and a point shock to the house-price appreciation rate gives you information about a unit shock that doesn8217t happen in the real world. In this post, I show how to account for this sort of correlation when computing the impulse-response function for VARs. Here is the relevant code . 2. Impulse-Response Function Before studying VARs, let8217s first define the impulse-response function more carefully in the scalar world. Suppose we have some data generated by an AR(1), where , , and . For instance, if we8217re looking at quarterly inflation data, , then . In this setup, what would happen if there was a sudden shock to in period How would we expect the level of to change What about the level of Or, the level of any arbitrary for How would a point shock to the current inflation rate propagate into future quarters Well, it8217s easy to compute the time expectation of : Iterating on this same strategy then gives the time expectation of : So, in general, the time expectation of any future will be given by the formula, and the impulse-response function for the AR(1) process will be: If you knew that there was a sudden shock to of size , then your expectation of would change by the amount . The figure below plots the impulse-response function for using the AR(1) point estimate by Equation (1 ). There8217s another slightly different way you might think about an impulse-response function8212namely, as the coefficients to the moving-average representation of the time series. Consider rewriting the data generating process using lag operators , where , , and so on8230 Whenever the slope coefficient is smaller than , , we know that , and there exists a moving-average representation of : That is, rather than writing each as a function of a lagged value, , and a contemporaneous shock, , we can instead represent each as a weighted average of all the past shocks that8217ve been realized, with more recent shocks weighted more heavily. If we normalize all of the shocks to have unit variance, then the weights themselves will be given by the impulse-response function: Of course, this is exactly what you8217d expect for a covariance-stationary process. The impact of past shocks on the current realized value had better be the same as the impact of current shocks on future values. 3. From ARs to VARs We8217ve just seen how to compute the impulse-response function for an AR(1) process. Let8217s now examine how to extend this the setting where there are two time series, instead of just . This pair of equations can be written in matrix form as follows, where and . For example, if you think about as the quarterly inflation rate and as the quarterly house-price appreciation rate, then the coefficient matrix is given in Equation (2 ). Nothing about the construction of the moving-average representation of demanded that be a scalar, so we can use the exact same tricks to write the - dimensional vector as a moving average: But, it8217s much less clear in this vector-valued setting how we8217d recover the impulse-response function from the moving-average representation. Put differently, what8217s the matrix analog of Let8217s apply the want operator. This mystery matrix, let8217s call it , has to have two distinct properties. First, it8217s got to rescale the vector of shocks, , into something that has a unit norm, in the same way that in the analysis above. This is why I8217m writing the mystery matrix as rather than just . Second, the matrix has to account for the fact that the shocks, and , are correlated, so that point shocks to the inflation rate are always accompanied by point shocks to the house-price appreciation rate. Because the shocks to each variable might have different standard deviations, for instance, while , the effect of a shock to the inflation rate on the house-price appreciation rate, , will be different than the effect of a shock to the house-price appreciation rate on the inflation rate, . Thus, each variable in the vector will have its own impulse-response function. This is why I write the mystery matrix as rather than . It turns out that, if we pick to be the Cholesky decomposition of , then will have both of the properties we want as pointed out in Sims (1980). The simple - dimensional case is really useful for understanding why. To start with, let8217s write out the variance-covariance matrix of the shocks, , as follows, where . The Cholesky decomposition of can then be solved by hand: Since we8217re only working with a - dimensional matrix, we can also solve for by hand: So, for example, if there is a pair of shocks, , then will convert this shock into: In other words, the matrix rescales to have unit norm, , and rotates the vector to account for the correlation between and . To appreciate how the rotation takes into account the positive correlation between and , notice that matrix turns the shock into a vector that is pointing standard deviation in the direction and in the direction. That is, given that you8217ve observed a positive shock, observing a shock would be a surprisingly low result. If we plug into our moving-average representation of , then we get the expression below, implying that the impulse-response function for is given by: The figure below plots the impulse-response function for both and implied by a unit shock to using the coefficient matrix from Equation (2 ). Post navigation